Trójkąty

Wstęp…

 

Trójkąt – figura geometryczna o trzech niewspółliniowych wierzchołkach. Odcinki łączące wszystkie pary wierzchołków nazywa się bokami trójkąta. W przestrzeni płaskiej (euklidesowej) suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu (180°)

 

Przykład trójkąta (z typowymi oznaczeniami wierzchołków, boków i kątów):

 

• A, B, C – wierzchołki trójkąta
• a, b, c – boki trójkąta;
• h – jedna z trzech wysokości trójkąta.

 

 

Rodzaje trójkątów…

Trójkąty dzielą się ze względu na długości ich boków oraz ze względu na miary kątów. Przy podziale ze względu na boki wyróżnia się:

·         Trójkąt różnoboczny ma każdy bok innej długości.

·         Trójkąt równoramienny ma przynajmniej dwa boki tej samej długości.

·         Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki tej samej długości.

Przy podziale ze względu na kąty wyróżnia się:

·         Trójkąt ostrokątny, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre.

·         Trójkąt prostokątny to taki, w którym jeden z kątów wewnętrznych jest prosty (90°). Boki tworzące kąt prosty określa się przyprostokątnymi, pozostały bok to przeciwprostokątna.

·         Trójkąt rozwartokątny, którego jeden kąt wewnętrzny jest rozwarty.

Miary kątów w trójkącie…

We wszystkich rodzajach trójkątów suma ich miar wynosi 180 stopni. W trójkącie równoramiennym kąty leżące przy podstawie są równe. W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają po 60 stopni.

Ważne odcinki i punkty w trójkącie…

Wysokość trójkąta to odcinek łączący jego wierzchołek z rzutem prostokątnym tego wierzchołka na prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta.

Środkowa boku trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem masy (barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku.

Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Symediana jest odbiciem środkowej w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka trójkąta.

Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

Punkt Gergone'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

Punkt Fermata - punkt, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych.

Nierówność trójkąta

W każdym (niezdegenerowanym) trójkącie zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta:

a < b + c

i analogicznie

b < c + a

c < a + b

Trójkąt o bokach a, b i c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci

| b − c | < a < b + c.

 Przykładowe Zadania

1.      Oblicz miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC (|kąt C|=90*, |BC|>|AC|), jeżeli na bokach AB i BC istnieją punkty K i L takie, że odcinki AL i KL dzielą trójkąt na trzy przystające trójkąty.

 

2.      Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=|AC| oraz |kąt ABC|=3|kąt BAC|. Uzasadnij, że jeżeli pólproste BK i BL dzielą kąt ABC na trzy równe części (|kąt LBC|=|kąta ABC|), to trójkąty BCL, BCK i BKA są równoramienne.

 

3.      Udowodnij, że jeżeli środkowa trójkąta równa się połowie boku, do którego została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny.

 

Linki:

Strona o geografii
Strona o chemii
Strona o informatyce
Strona Rafała Tomczaka o matematyce